Question

有人玩擲硬幣走跳跳棋的游戲，已知硬幣出現正反面的概率都是0.5．棋盤上標有第0站、第1站、第2站、…第10站．一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次． 若擲出正面，棋向前跳一站（從k到k+1）；若擲出反面，棋子向前跳二站（從k到k+2），直到棋子跳到第9站（勝利大本營）或跳到第10站（失敗集中營）時，該游戲結束．那么棋子跳到第10站的概率為

683

1024

．

Answer 1

分析：設棋子跳到第n站的概率為P（n），將棋子跳到第n站的事件分為兩種情況：①由第（n-1）站跳到，即第（n-1）站時擲出正面，跳動一次到第n站；②由第（n-2）站跳到，即第（n-2）站時擲出反面，跳動二次到第n站．據此得到遞推關系式：P（n）=

1

2

P（n-1）+

1

2

P（n-2），然后變形得到數列{P（n+1）-P（n）}是公比為-

1

2

的等比數列，最后用累加的方法結合等比數列的求和公式，即可算出棋子跳到第10站的概率．

解答：解：設棋子跳到第n站的概率為P（n），
根據題意，棋子要到第n站，有兩種情況，（2≤n≤10）
①由第（n-1）站跳到，即第（n-1）站時擲出正面，其概率為

1

2

P（n-1），
②由第（n-2）站跳到，即第（n-2）站時擲出反面，其概率為

1

2

P（n-2），
則P（n）=

1

2

P（n-1）+

1

2

P（n-2），
∴P（n+1）=

1

2

P（n）+

1

2

P（n-1），
兩邊都減去P（n），得P（n+1）-P（n）=-

1

2

[P（n）-P（n-1）]，（1≤n≤9，n∈N），
故數列{P（n+1）-P（n）}是等比數列，它的公比為-

1

2

，
∵P（1）=

1

2

，P（2）=

1

2

×

1

2

+

1

2

=

3

4

，
首項為    P（2）-P（1）=

1

4

=(-

1

2

)2…（1）
第二項為  P（3）-P（2）=-

1

2

[P（2）-P（1）]=-

1

8

=(-

1

2

)3…（2）
第三項為  P（4）-P（3）=-

1

2

[P（3）-P（2）]=

1

16

=(-

1

2

)4…（3）
…
第九項為 P（10）-P（9）=-

1

2

[P（9）-P（8）]=

1

210

=(-

1

2

)10…（9）
將此九個式累加，得P（10）-P（1）=[(-

1

2

)2+(-

1

2

)3+(-

1

2

)4+…+(-

1

2

)10]=

1 4 [1-( - 1 2 )9]

1-(- 1 2 )

=

171

1024

∴P（10）=P（1）+

171

1024

=

1

2

+

171

1024

=

683

1024

故答案為：

683

1024

點評：本題借助于一個隨機事件的概率問題，著重考查了等可能事件的概率公式和等比數列的通項與求和等知識點，屬于難題．