Question

求證：已知函數f（x）是（-∞，+∞）上的增函數，a，b∈R，若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），則a+b≥0．

Answer 1

證明：法一：原命題的逆否命題為“已知函數f（x）是（-∞，+∞）上的增函數，a，b∈R，若a+b＜0，則f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）”．
若a+b＜0，則a＜-b，b＜-a，
又∵f（x）是（-∞，+∞）上的增函數，
∴f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a），
∴f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）．
即原命題的逆否命題為真命題，
∴原命題為真命題．
法二：假設a+b＜0，則a＜-b，b＜-a，
又∵f（x）在（-∞，+∞）上是增函數，
∴f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a），
∴f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），
這與已知f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）相矛盾，
因此假設不成立，故a+b≥0．