Question

若點(diǎn)G為△ABC的重心（三角形三邊上中線的交點(diǎn)）且AG⊥BG，則cos（A+B）的最大值為______．

Answer 1

根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示，
∵AD⊥BE，∴△ABG，△BDG，△EDG，△AGE都為直角三角形，
設(shè)AB=c，BC=a，AC=b，
∵D、E分別為BC、AC的中點(diǎn)，
∴BC=

1

2

a，AE=

1

2

b，DE=

1

2

c，
根據(jù)勾股定理得：AG²+BG²=c²①，GD²+GE²=

1

4

c²②，
AG²+GE²=

1

4

b²③，BG²+DG²=

1

4

a²④，
（①+②）-（③+④）得：

5

4

c²=

1

4

（a²+b²），即c²=

1

5

（a²+b²），
在△ABC中，cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

2

5

•

a2+b2

ab

≥

4

5

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，cosC最小值為

4

5

，
∵cos（A+B）=-cosC，
∴cos（A+B）的最大值為-

4

5

．
故答案為：-

4

5