Question

設直線l（斜率存在）交拋物線y²=2px（p＞0，且p是常數）于兩個不同點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O為坐標原點，且滿足

OA

•

OB

=x₁x₂+2（y₁+y₂）．
（1）若y₁+y₂=-1，求直線l的斜率與p之間的關系；
（2）求證：直線l過定點；
（3）設（1）中的定點為P，若點M在射線PA上，滿足

1

| PM |

=

1

| PA |

+

1

| PB |

，求點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）設直線l的方程為y=kx+b，由

y=kx+b y2=2px

，得ky²-2py+2pb=0，再由根的判別式和根與系數的關系，可知直線l的斜率與p之間的關系．
（2）由題設知，y₁y₂=2（y₁+y₂）．則

2pb

k

=2×

2p

k

，得b=2．所以直線l的方程為y=kx+2．由此知直線l過定點（0，2）．
（3）分別過點A、M、B向y軸作垂線，垂足分別為A^‘，M’，B^‘，設M（x，y），由

1

| PM |

= 

1

| PA |

+

1

| PB |

，可得

1

| PM2 |

=

1

| PA‘ |

+

1

| PB   |

．所以

1

|2-y|

=

1

|2-y1|

+

1

|2-y2|

．由此入手可求出點M的軌跡方程．

解答：解：（1）設直線l的方程為y=kx+b，由

y=kx+b y2=2px

，得ky²-2py+2pb=0，
由題知k≠0，△=4p²-8kpb＞0，且y1+y2=

2p

k

．
又y₁+y₂=-1，∴k=-2p．
∴直線l的斜率k與p之間的關系為k=-p．

（2）由（1），有

y1+y2= 2p k y1•y2= 2pb k

，
又

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+2（y₁+y₂），
∴y₁y₂=2（y₁+y₂）．則

2pb

k

=2×

2p

k

，得b=2．
∴直線l的方程為y=kx+2．
∴直線l過定點（0，2）．
（3）分別過點A、M、B向y軸作垂線，垂足分別為A′，M′，B′，
設M（x，y），由

1

| PM |

=

1

| PA |

+

1

| PB |

，
可得

1

| PM2 |

=

1

| PA‘ |

+

1

| PB  |

．
∴

1

|2-y|

=

1

|2-y1|

+

1

|2-y2|

，∴

1

2-y

=

1

2-y1

+

1

2-y2

．
∴

1

2-y

=

4-(y1+y2)

4-2(y1+y2)+y1y2

=

4-(y1+y2)

4-2(y1+y2)+2(y1+y2)

=1-

y1+y2

4

，
∴

1

2-y

=1-

1

4

×

2p

k

=1-

p

2k

，∴2k=

2-y

1-y

×p，
∵△=4p²-16kp＞0，∴1＜y＜3，y≠2．
∵y=kx+2，∴y=

p

2

x+1(1＜y＜3，y≠2)．
∴點M的軌跡方程為y=

p

2

x+1(1＜y＜3，y≠2)．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用問題，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．