Question

如右圖（1）所示，定義在區間上的函數，如果滿     

足：對，常數A，都有成立，則稱函數  

在區間上有下界，其中稱為函數的下界. （提示：圖(1)、（2）中的常數、可以是正數，也可以是負數或零）

（Ⅰ）試判斷函數在上是否有下界？并說明理由；

（Ⅱ）又如具有右圖（2）特征的函數稱為在區間上有上界.

請你類比函數有下界的定義，給出函數在區間上

有上界的定義，并判斷（Ⅰ）中的函數在上是否

有上界？并說明理由；                   

（Ⅲ）若函數在區間上既有上界又有下界，則稱函數

在區間上有界，函數叫做有界函數．試探究函數 （是常數）是否是（、是常數）上的有界函數？

Answer 1

(Ⅰ)   A=32   (Ⅱ) 存在常數B=－32（III）上的有界函數

解析:

：（I）解法1：∵，由得，

       ∵，      ∴，---2分

∵當時，，∴函數在（0，2）上是減函數；

當時，，∴函數在（2，＋）上是增函數；

∴是函數的在區間（0，＋）上的最小值點，

∴對，都有，---4分即在區間（0，＋）上存在常數A=32,使得對都有成立，∴函數在（0，＋）上有下界. ---5分   

[解法2：

當且僅當即時“＝”成立∴對，都有，

即在區間（0，＋）上存在常數A=32,使得對都有成立，

∴函數在（0，＋）上有下界.

（II）類比函數有下界的定義，函數有上界可以這樣定義：

定義在D上的函數，如果滿足：對，常數B，都有≤B成立，則稱函數在D上有上界，其中B稱為函數的上界. -----7分

設則，由（1）知，對，都有，

∴，∵函數為奇函數，∴

∴，∴

即存在常數B=－32，對，都有,

∴函數在（－， 0）上有上界. ---------9分

（III）∵，由得，∵

∴    ∵ ，  ∴，----------10分

∵當時，，∴函數在（0，）上是減函數；

當時，，∴函數在（，＋）上是增函數；

∴是函數的在區間（0，＋）上的最小值點， ------11分

①當時，函數在上是增函數；

∴

∵、是常數，∴、都是常數

令,

∴對，常數A,B,都有

即函數在上既有上界又有下界--------12分

②當  時函數在上是減函數

∴對都有∴函數在上有界.-- -13分

③當時，函數在上有最小值

＝

令,令B=、中的最大者則對，常數A,B,都有

∴函數在上有界.綜上可知函數是上的有界函數---14分