Question

在半徑為R的球內(nèi)有一內(nèi)接正三棱錐，其底面上的三個頂點(diǎn)恰好都在同一個大圓上，一個動點(diǎn)從三棱錐的一個頂點(diǎn)出發(fā)沿球面運(yùn)動，經(jīng)過其余三點(diǎn)返回，則經(jīng)過的最短路程是

 

．

Answer 1

分析：球面上兩點(diǎn)之間最短的路徑是大圓（圓心為球心）的劣弧的弧長，因此最短的路徑分別是經(jīng)過的各段弧長的和，利用內(nèi)接正三棱錐，它的底面三個頂點(diǎn)恰好同在一個大圓上，一個動點(diǎn)從三棱錐的一個頂點(diǎn)出發(fā)沿球面運(yùn)動，經(jīng)過其余三點(diǎn)后返回，經(jīng)過的最短路程為：一個半圓一個

2

3

圓即可解決．

解答：解：由題意可知，球面上兩點(diǎn)之間最短的路徑是大圓（圓心為球心）的劣弧的弧長，
內(nèi)接正三棱錐，它的底面三個頂點(diǎn)恰好同在一個大圓上，一個動點(diǎn)從三棱錐的
一個頂點(diǎn)出發(fā)沿球面運(yùn)動，經(jīng)過其余三點(diǎn)后返回，
則經(jīng)過的最短路程為：一個半圓一個

2

3

圓，
即：Rπ+

2

3

×2Rπ=

7πR

3

故 答案為：

7πR

3

．

點(diǎn)評：本題考查球的內(nèi)接多面體，球面距離，考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題．解答的關(guān)鍵是從整體上考慮球面距離的計算．