Question

已知各項均為正數的等比數列{a_n}，公比q>1，且滿足a₂a₄=64，a₃+2是a₂，a₄的等差中項.

   （1）求數列{a_n}的通項公式；

   （2）設，試比較A_n與B_n的大小，并證明你的結論.

Answer 1

解：（1）

       的等差中項，

      

       解得q=2或（舍去），

        

   （2）由（1）得，

       當n=1時，A₁=2，B₁=（1+1）²=4，A₁<B₁；

       當n=2時，A₂=6，B₂=（2+1）²=9，A₂<B₂；

       當n=3時，A₃=14，B₃=（3+1）²=16，A₃<B₃；

       當n=4時，A₄=30，B₄=（4+1）²=25，A₄>B₄；

       由上可猜想，當1≤n≤3時，A_n<B_n；當n≥4時，A_n>B_n.

       下面用數學歸納法給出證明：

       ①當n=4時，已驗證不等式成立.

       ②假設n=k（k≥4）時，A_k>B_k.成立，即,

      

       即當n=k+1時不等式也成立，

       由①②知，當

       綜上，當時，A_n<B_n；當