Question

（本題16分）在平面直角坐標系中，是拋物線的焦點，是拋物線上位于第一象限內的任意一點，過三點的圓的圓心為，點到拋物線的準線的距離為.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）是否存在點，使得直線與拋物線相切于點？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由；

（Ⅲ）若點的橫坐標為，直線與拋物線有兩個不同的交點，與圓有兩個不同的交點，求當時，的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1），（2）存在，，(3) 最小值

【解析】利用拋物線的幾何性質、圓的方程以及直線與圓錐曲線的位置關系求解。

試題分析：

（1）由題意，知，圓心在線段的中垂線上，拋物線準線方程為，所以，得，，拋物線方程為……………………….4分

（2）假設存在點滿足條件，拋物線在點處的切線斜率為，所以，直線，令，得，故，

又，得，，由，解得，滿足條件。…………………………………………8分

（3）當時，由（2）知，圓的半徑，

圓設，由，整理得 ，，

設，由，整理得，

，令，，，

，

，當時，，在遞增，故當，即時，有最小值……………………………………………………………….16分

考點：本題主要考查了拋物線的幾何性質、圓的方程以及直線與圓錐曲線的位置關系等，綜合考查了學生的運算求解能力和推理論證能力。

點評：解決此題的關鍵是掌握拋物線的幾何性質、圓的方程以及直線與圓錐曲線的位置關系等知識以及較強的運算求解能力和推理論證能力，難度很大。