Question

設、分別是橢圓的左、右焦點.

    （Ⅰ）若是該橢圓上的一個動點，求?的最大值和最小值;

    （Ⅱ）設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且∠為銳角（其中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

本題主要考察直線、橢圓、平面向量的數量積等基礎知識，以及綜合應用數學知識解決問題及推理計算能力。

解：（Ⅰ）解法一：易知

所以，設，則

因為，故當，即點為橢圓短軸端點時，有最小值

當，即點為橢圓長軸端點時，有最大值

解法二：易知，所以，設，則

（以下同解法一）

（Ⅱ）顯然直線不滿足題設條件，可設直線，

聯立，消去，整理得：

∴

由得：或   ①

又

∴

又

∵，即  ∴

故由①、②得或