Question

如圖所示，三棱柱A₁B₁C₁-ABC的底面是邊長為1的正三角形，側棱A₁A⊥底面ABC且A₁A=2，M、N分別為AA₁、BC的中點．
（1）求證：MN∥平面A₁BC₁；
（2）求直線MN與BC₁所成角的余弦值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）首先利用面面平行的判定求出平面MNG∥平面A₁BC₁，進一步轉化成線面平行．
（2）首先利用平行線得到異面直線的夾角的平面角，進一步通過解三角形知識求出結果．

解答： 證明：（1）在三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，取AB的中點G，連接GN和MG，
由于M、N分別為AA₁、BC的中點．G是AB的中點．
所以：MG∥A₁B，NG∥AC，AC∥A₁C₁
MG和NG是相交直線，A₁B和A₁C₁是相交直線．
則：平面MNG∥平面A₁BC₁
所以：MN∥平面A₁BC₁
解：（2）在三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，取CC₁的中點H，連接NH和MH，
所以：直線MN與BC₁所成角即直線MN和NH所成的角．
三棱柱A₁B₁C₁-ABC的底面是邊長為1的正三角形，側棱A₁A⊥底面ABC且A₁A=2，
M、N分別為AA₁、BC的中點．
所以求得：NH=

5

2

，MH=1，MN=

7

2

在△MNH中，由于MN²=MH²+NH²，
所以△MNH是直角三角形．
所以：cos∠HNM=

NH

MN

=

35

7

即直線直線MN與BC₁所成角的余弦值為

35

7

．

點評：本題考查的知識要點：面面平行的判定，線面平行的判定，異面直線的夾角的應用及相關的運算．屬于基礎題型．