Question

已知橢圓E的方程為，長軸是短軸的2倍，且橢圓E過點；斜率為k（k＞0）的直線l過點A（0，2），為直線l的一個法向量，坐標平面上的點B滿足條件．
（1）寫出橢圓E方程，并求點B到直線l的距離；
（2）若橢圓E上恰好存在3個這樣的點B，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先由長軸是短軸的2倍得a、b的一個方程，然后根據橢圓E過點（，）得a、b的另一個方程，則解方程組求得a、b，進而求得橢圓E的方程；由直線l過點A（0，2），且斜率為k（k＞0），設其斜截式為y=kx+2，然后取該直線的一個法向量（k，-1），再設點B的坐標為B（x，y），則根據||=||得k、x、y間關系式，而點B（x，y）到直線y=kx+2的距離恰好由前面k、x、y間的關系式變形可得，則問題解決．
（2）由（1）知，橢圓E上恰好存在3個這樣的點B，表示與直線l的距離為1的二條平行線與橢圓E恰好有三個交點，則其中一條必與橢圓E相切，把它作為問題的切入點，則由該直線方程y=kx+t與橢≥圓方程聯立方程組，根據△=0可求得k、t的一個關系式，再由兩平行線間距離公式得k、t的另一個關系式，則解方程組求得k、t，最后注意檢驗把不符號要求的答案舍去．
解答：解：（1）由題意得解得a²=4，b²=1，
∴橢圓E方程為：．
直線l的方程為y=kx+2，其一個法向量，設點B的坐標為B（x，y），由及得，
∴B（x，y）到直線y=kx+2的距離為．
（2）由（1）知，點B是橢圓E上到直線l的距離為1的點，即與直線l的距離為1的二條平行線與橢圓E恰好有三個交點．
設與直線l平行的直線方程為y=kx+t
由得x²+4（kx+t）²=4，即（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0△=64k²t²-4（1+4k²）（4t²-4）=16（1+4k²-t²）①
當△=0時，②
又由兩平行線間的距離為1，可得③
把②代入③得，即3t²-16t+13=0，（3t-13）（t-1）=0
解得t=1，或
當t=1時，代入②得k=0，與已知k＞0不符，不合題意；
當時，代入②得，代回③得或
當，時，由①知△＞0
此時兩平行線和，與橢圓E有三個交點，
∴．
點評：本題考查橢圓的標準方程及點到線的距離公式，同時綜合考查直線與橢圓的位置關系問題．