Question

【題目】已知拋物線：（），過點且斜率為1的直線與拋物線交于，兩點，且為的中點.

（1）求拋物線的方程；

（2）設直線與軸交點為，若過的直線與拋物線交于，兩點，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）寫出直線方程，與拋物線方程聯立，消去，得到關于的一元二次方程，由根與系數關系，求出中點縱坐標，即可求解；

（2）由（1）得，設直線方程為，與拋物線方程聯立，消去，得到，兩點縱坐標乘積為定值，再結合拋物線方程，可得橫坐標乘積為定值，進而證明結論.

（1）直線的方程為，

設，兩點坐標分別為，，

將代入，

得，由，

知，即.

因此拋物線的方程為；

（2）由于的坐標為， 的斜率不為0，,

設的方程為，

，兩點坐標分別為，.

聯立方程，消去，

得恒成立，

故，由，，

故，

所以.