Question

有甲、乙兩種商品，經銷這兩種商品所能獲得的利潤分別是p萬元和q萬元．它們與投入資金x萬元的關系是：p=

1

5

x，q=

3

5

x

．今有3萬元資金投入經營這兩種商品，為獲得最大利潤，對這兩種商品的資金分別投入多少時，能獲取最大利潤？最大利潤為多少？

Answer 1

分析：如果設對乙商品投入資金x萬元，則對甲投入資金為（3-x）萬元，獲取的利潤為y萬元；那么y=p+q，代入可得關于x的解析式，利用換元法得到二次函數f（t），再由二次函數的圖象與性質，求導y的最大值，和對應的t、x．

解答：解：設對乙商品投入資金x萬元，則對甲投入資金為（3-x）萬元，此時獲取利潤為y萬元；
則由題意知，y=p+q=

1

5

(3-x)+

3

5

x

=-

1

5

x+

3

5

x

+

3

5

(0≤x≤3)．
令

x

=t，則y=-

1

5

t²+

3

5

t+

3

5

=-

1

5

(t-

3

2

)2+

21

20

（其中0≤t≤

3

）；
根據二次函數的圖象與性質知，當t=

3

2

時，y有最大值，為

21

20

；
又t=

3

2

，得

x

=

3

2

，∴x=

9

4

=2.25（萬元），∴3-x=0.75（萬元）；
所以，對甲投入資金0.75萬元，對乙投資2.25萬元時，獲取利潤最大，為

21

20

萬元．

點評：本題考查了換元法的應用，運用換元法解題時，要注意換元前后函數自變量取值范圍的變化，以免出錯．