Question

若a，b∈R，已知直線x+a²y+1=0與（a²+1）x-2by+3=0互相垂直，則|ab|的最小值為

 

．

Answer 1

分析：根據兩條直線垂直的性質求得b=

1

2

+

1

a2

，再根據|ab|=|

a

2

+

1

a

|=|

a

2

|+|

1

a

|，利用基本
不等式求得它的最小值．

解答：解：由直線x+a²y+1=0與（a²+1）x-2by+3=0互相垂直，
可得 （a²+1）+a²（-2b）=-1，可得b=

1

2

+

1

a2

，
∴|ab|=|

a

2

+

1

a

|=|

a

2

|+|

1

a

|≥2

1 2

=

2

，
當且僅當|

a

2

|=|

1

a

|時，即a=±

2

時，取等號，
故|ab|的最小值為

2

，
故答案為

2

．

點評：本題主要考查兩條直線垂直的性質，基本不等式的應用，屬于基礎題．