Question

已知函數f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）．
（I）判斷函數y=f（x）的單調性；
（Ⅱ）若f（1）=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，∞）上的最小值為-2，求實數m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分a＞1和0＜a＜1兩種情況利用兩個增函數相加為增函數的特點可得結論；
（Ⅱ）利用換元法和分類討論的思想表示出函數的最值讓其等于-2可解m的值，注意取舍．

解答：解：（Ⅰ）當a＞1時，y=a^x在R上單調遞增，y=a-x=(

1

a

)x在R上單調遞減，
y=-a^x在R上單調遞增，又因為兩個增函數相加所得的函數為增函數，
所以f（x）=a^x-a^-x在R上單調遞增；
同理可得，當0＜a＜1時，原函數f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）在R上單調遞減．
（Ⅱ）∵f（1）=

3

2

∴a-

1

a

=

3

2

即2a²-3a-2=0，
∴a=2或a=-

1

2

（舍去）
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2
令t=f（x）=2^x-2^-x
∵x≥1，∴t≥f(1)=

3

2

∴g（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²
g（t）是關于t的二次函數的一部分，開口向上，對稱軸為x=m結合圖象可知：
當m≥

3

2

時，g(t)min=g(m)=2-m2=-2，∴m=2或m=-2（舍去）
當m＜

3

2

時，g(t)min=g(

3

2

)=

17

4

-3m=-2，∴m=

25

12

＞

3

2

（舍去）
綜上可知m=2．

點評：本題為函數的綜合應用，用好分類討論思想和換元法是解決問題的關鍵，屬難題．