Question

5．某中學擬在高一下學期開設游泳選修課，為了了解高一學生喜歡游泳是否與性別有關，該學校對100名高一新生進行了問卷調查，得到如下列聯表：

	喜歡游泳	不喜歡游泳	合計
男生		10
女生	20
合計

已知在這100人中隨機抽取1人抽到喜歡游泳的學生的概率為$\frac{3}{5}$．
（1）請將上述列聯表補充完整：并判斷是否有99.9%的把握認為喜歡游泳與性別有關？并說明你的理由；
（2）針對于問卷調查的100名學生，學校決定從喜歡游泳的人中按分層抽樣的方法隨機抽取6人成立游泳科普知識宣傳組，并在這6人中任選2人作為宣傳組的組長，設這兩人中男生人數為X，求X的分布列和數學期望．
下面的臨界值表僅供參考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）根據在100人中隨機抽取1人抽到喜歡游泳的學生的概率為$\frac{3}{5}$，可得喜愛游泳的學生，即可得到列聯表；利用公式求得K²，與臨界值比較，即可得到結論；
（2）喜歡游泳的共60人，按分層抽樣抽取6人，則每個個體被抽到的概率均為$\frac{1}{10}$，從而需抽取男生4人，女生2人．故X的所有可能取值為0，1，2，求出相應的概率，即可求X的分布列和數學期望．

解答 解：（1）因為在100人中隨機抽取1人抽到喜歡游泳的學生的概率為$\frac{3}{5}$，
所以喜歡游泳的學生人數為$100×\frac{3}{5}=60$人…（1分）
其中女生有20人，則男生有40人，列聯表補充如下：

	喜歡游泳	不喜歡游泳	合計
男生	40	10	50
女生	20	30	50
合計	60	40	100

…（3分）
因為${K^2}=\frac{{100{{（{40×30-20×10}）}^2}}}{60×40×50×50}≈16.67＞10.828$…（5分）
所以有99.9%的把握認為喜歡游泳與性別有關…（6分）
（2）喜歡游泳的共60人，按分層抽樣抽取6人，則每個個體被抽到的概率均為$\frac{1}{10}$，
從而需抽取男生4人，女生2人．
故X的所有可能取值為0，1，2…（7分）$P（{X=0}）=\frac{C_2^2}{C_6^2}=\frac{1}{15}；P（{X=1}）=\frac{C_4^1C_2^1}{C_6^2}=\frac{8}{15}；P（{X=2}）=\frac{C_4^2}{C_6^2}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$，
X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{2}{5}$

…（10分）
$EX=0×\frac{1}{15}+1×\frac{8}{15}+2×\frac{2}{5}=\frac{4}{3}$…（12分）

點評 本題考查獨立性檢驗知識，考查X的分布列和數學期望，考查學生的計算能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．