Question

已知函數f(x)=lnx，   g(x)=

1

2

ax2+2x
（1）若曲線y=f（x）-g（x）在x=1與x=

1

2

處的切線相互平行，求a的值及切線斜率．
（2）若函數y=f（x）-g（x）在區間(

1

3

，1)上單調遞減，求a的取值范圍．
（3）設函數f（x）的圖象C₁與函數g（x）的圖象C₂交與P、Q兩點，過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點M、N，證明：C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不可能平行．

Answer 1

分析：（1）求函數y=f（x）-g（x）的導數，根據在x=1與x=

1

2

處的切線相互平行，得到導數相同，建立方程即可求a的值及切線斜率．
（2）要使函數y=f（x）-g（x）在區間(

1

3

，1)上單調遞減，只要y'≤0恒成立即可求a的取值范圍．
（3）利用反證法證明結論即可．

解答：解：（1）y=f（x）-g（x）=ln?x-(

1

2

ax2+2x)=ln?x-

1

2

ax2-2x，
∴y'=m'（x）=

1

x

-ax-2，
則m'（1）=1-a-2=-1-a，m'（

1

2

）=2-

1

2

a-2=-

1

2

a，
∵在x=1與x=

1

2

處的切線相互平行，
∴m'（1）=m'（

1

2

），即-1-a=-

1

2

a，
∴

1

2

a=-1，a=-2，
此時切線斜率k=m'（1）=-1-（-2）=2-1=1．
（2）∵y=f（x）-g（x）=ln?x-(

1

2

ax2+2x)=ln?x-

1

2

ax2-2x，y'=m'（x）=

1

x

-ax-2，
∴函數y=f（x）-g（x）在區間(

1

3

，1)上單調遞減，
則m'（x）=

1

x

-ax-2≤0恒成立，
即ax≥

1

x

-2成立，
∴a≥

1

x2

-

2

x

，
設g（x）=

1

x2

-

2

x

，則g（x）=(

1

x

)2-

2

x

=(

1

x

-1)2-1
∵x∈(

1

3

，1)，∴

1

x

∈(1，3)，
∴g（x）∈（-1，3），
∴a≥3．
（3）設點P、Q的坐標分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂．
則點M、N的橫坐標為x=

x1+x2

2

，
C₁在點M處的切線斜率為k₁=

1

x

，x=

x1+x2

2

，k₁=

2

x1+x2

，
C₂在點N處的切線斜率為k₂=ax+b，x=

x1+x2

2

，k₂=a

x1+x2

2

+b．
假設C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線平行，
則k₁=k₂．
即

2

x1+x2

=

a(x1+x2)

2

+b，
則

2(x2-x1)

x1+x2

=

a

2

（x₂²-x₁²）+b（x₂-x₁）
=

a

2

（x₂²+bx₂）-（

a

2

x

2 1

+bx₁）=y₂-y₁=lnx₂-lnx₁．
∴ln

x2

x1

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

．
設t=

x2

x1

，則lnt=

2(t-1)

1+t

，t＞1①
令r（t）=lnt-

2(t-1)

1+t

，t＞1．
則r′（t）

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

．
∵t＞1時，r'（t）＞0，
∴r（t）在[1，+∞）上單調遞增．
故r（t）＞r（1）=0．
則lnt＞

2(t-1)

1+t

．這與①矛盾，假設不成立．
故C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行．

點評：本題主要考查導數的幾何意義，考查導數是運算，以及利用導數研究函數的性質，綜合性較強，運算量較大，考查 學生的運算能力．