Question

10．對于函數f₁（x）、f₂（x）、h（x），如果存在實數a，b使得h（x）=a•f₁（x）+bf₂（x），那么稱h（x）為f₁（x）、f₂（x）的和諧函數．
（1）已知函數f₁（x）=x-1，f₂（x）=3x+1，h（x）=2x+2，試判斷h（x）是否為f₁（x）、f₂（x）的和諧函數？并說明理由；
（2）已知h（x）為函數f₁（x）=log₃x，f₂（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}}$x的和諧函數，其中a=2，b=1，若方程h（9x）+t•h（3x）=0在x∈[3，9]上有解，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）h（x）是f₁（x）、f₂（x）的和諧函數，存在a=-1，b=1，設h（x）=af₁（x）+bf₂（x），利用新定義判斷即可．
（2）解法一：方程$2{log_3}（9x）+{log_{\frac{1}{3}}}（9x）+t[2{log_3}（3x）+{log_{\frac{1}{3}}}（3x）]=0$在x∈[3，9]上有解，即log₃（9x）+t•log₃（3x）=0在x∈[3，9]上有解，設m=log₃x，x∈[3，9]，則m∈[1，2]，原問題可以轉化關于m的方程（1+t）m+（t+2）=0在m∈[1，2]上有解，令g（m）=（1+t）m+（t+2）通過g（1）•g（2）≤0，求解即可．
（2）解法二：log₃（9x）+t•log₃（3x）=0，化簡得：2+log₃x+t（1+log₃x）=0，原式可轉化為方程$t=-\frac{{2+{{log}_3}x}}{{1+{{log}_3}x}}$在x∈[3，9]區間上有解，即求函數$g（x）=-\frac{{2+{{log}_3}x}}{{1+{{log}_3}x}}$在x∈[3，9]的值域，通過分離常數法，求解即可．

解答 解：（1）h（x）是f₁（x）、f₂（x）的和諧函數，因為存在a=-1，b=1
使h（x）=-f₁（x）+f₂（x）…2分
設h（x）=af₁（x）+bf₂（x），則2x+2=a（x-1）+b（3x+1），
所以$\left\{\begin{array}{l}a+3b=2\\ b-a=2\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=1\end{array}\right.$
所以h（x）是f₁（x）、f₂（x）的和諧函數．…6分
（2）解法一：依題意，由方程$2{log_3}（9x）+{log_{\frac{1}{3}}}（9x）+t[2{log_3}（3x）+{log_{\frac{1}{3}}}（3x）]=0$在x∈[3，9]上有解，即log₃（9x）+t•log₃（3x）=0在x∈[3，9]上有解，
化簡得：2+log₃x+t（1+log₃x）=0…10分
設m=log₃x，x∈[3，9]，則m∈[1，2]，即 （1+m）•t+（t+2）=0
原問題可以轉化關于m的方程（1+t）m+（t+2）=0在m∈[1，2]上有解，
令g（m）=（1+t）m+（t+2）…13分
由題意得：g（1）•g（2）≤0，解得$-\frac{3}{2}≤t≤-\frac{4}{3}$．
綜上：$-\frac{3}{2}≤t≤-\frac{4}{3}$…16分
（2）解法二：log₃（9x）+t•log₃（3x）=0，化簡得：2+log₃x+t（1+log₃x）=0…10分
因為x∈[3，9]，所以（1+log₃x）∈[2，3]，
原式可轉化為方程$t=-\frac{{2+{{log}_3}x}}{{1+{{log}_3}x}}$在x∈[3，9]區間上有解
即求函數$g（x）=-\frac{{2+{{log}_3}x}}{{1+{{log}_3}x}}$在x∈[3，9]的值域…12分
令$g（x）=-\frac{{2+{{log}_3}x}}{{1+{{log}_3}x}}=-1-\frac{1}{{1+{{log}_3}x}}$，因為  2≤1+log₃x≤3
由反比例函數性質可得，函數g（x）的值域為$[{-\frac{3}{2}，-\frac{4}{3}}]$
所以實數t的取值范圍$[{-\frac{3}{2}，-\frac{4}{3}}]$．…16分．

點評 本題考查函數與方程的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力．