Question

（2012•太原模擬）已知定義在R上的函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，且x∈（-∞，0）時，f（x）+xf′（x）＜0成立，（其中f′（x）是f（x）的導函數），a=（3^0.3）f（3^0.3），b=（log_π3）．f（log_π3），c=(log3

1

9

)f(log3

1

9

)則a，b，c的大小關系是（　　）

A．a＞b＞c

B．c＞b＞a

C．c＞a＞b

D．a＞c＞b

Answer 1

分析：由“當x∈（-∞，0）時不等式f（x）+xf′（x）＜0成立”知xf（x）是減函數，要得到a，b，c的大小關系，只要比較30.3，

log

π

3，

log

3

1

9

的大小即可．

解答：解：∵當x∈（-∞，0）時不等式f（x）+xf′（x）＜0成立
即：（xf（x））′＜0，
∴xf（x）在 （-∞，0）上是減函數．
又∵函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，
∴函數y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，
∴函數y=f（x）是定義在R上的奇函數
∴xf（x）是定義在R上的偶函數
∴xf（x）在 （0，+∞）上是增函數．
又∵30.3＞1＞

log

π

3＞0＞

log

3

1

9

=-2，
2=-

log

3

1

9

＞30.3＞1＞

log

π

3 ＞0．
∴(-log3

1

9

)•f(-log3

1

9

)＞3^0.3•f（3^0.3）＞（log_π3）•f（log_π3）
即(log3

1

9

)•f(log3

1

9

)＞3^0.3•f（3^0.3）＞（log_π3）•f（log_π3）
即：c＞a＞b
故選C．

點評：本題考查的考點與方法有：1）所有的基本函數的奇偶性；2）抽象問題具體化的思想方法，構造函數的思想；3）導數的運算法則：（uv）′=u′v+uv′；4）指對數函數的圖象；5）奇偶函數在對稱區間上的單調性：奇函數在對稱區間上的單調性相同；偶函數在對稱區間上的單調性相反．本題結合已知構造出h（x）是正確解答的關鍵所在．