Question

14、觀察下列等式：（x²+x+1）⁰=1；（x²+x+1）¹=x²+x+1；（x²+x+1）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1；（x²+x+1）³=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1；…；可能以推測，（x²+x+1）⁵展開式中，第五、六、七項的系數和是

141

．

Answer 1

分析：利用多項式乘法的法則得到各項的構成方法求出展開式各項的系數和．

解答：解：展開式的第五項是含x⁶的項；其構成是5個多項式3個出x²，其它都出1；5個多項式2個出x²，2個出x，其它出1；
5個多項式1個出x²，4個出x
其系數為C₅³+C₅²C₃²+C₅¹=45
展開式的第6項同樣的方法其系數為C₅²C₃¹+C₅¹C₄³+1=51
展開式的第7項同樣的方法其系數為C₅²+C₅¹C₄²+C₅⁴=45
所以展開式中，第五、六、七項的系數和是35+51+45=141
故答案為141

點評：本題考查利用分類計數原理和分布計數原理求出完成事件的方法數．