Question

數列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，且滿足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式．
（2）設b_n=

1

n(12-an)

（n∈N^*），S_n=b₁+b₂+…+b_n，是否存在最大的整數m，使得任意的n均有S_n＞

m

32

總成立？若存在，求出m；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由a_n+2-2a_n+1+a_n=0?{a_n}是等差數列．再有a₁=8，a₄=2找到其公差即可．
（2）利用（1）的結論對數列b_n=

1

n(12-an)

（n∈N^*）進行裂項相消求和，找出S_n=b₁+b₂+…+b_n的表達式，再解不等式即可．

解答：解：（1）∵a_n+2-2a_n+1+a_n=0，
∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n（n∈N^*）．
∴{a_n}是等差數列．設公差為d，
又a₁=8，a₄=a₁+3d=8+3d=2，
∴d=-2．∴a_n=-2n+10．

（2）b_n=

1

n(12-an)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
∴S_n=b₁+b₂++b_n=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）++（

1

n

-

1

n+1

）]
=

1

2

（1-

1

n+1

）=

n

2(n+1)

．
假設存在整數m滿足S_n＞

m

32

總成立．
又S_n+1-S_n=

n+1

2(n+2)

-

n

2(n+1)

=

1

2(n+2)(n+1)

＞0，
∴數列{S_n}是單調遞增的．
∴S₁=

1

4

為S_n的最小值，故

m

32

＜

1

4

，
即m＜8．又m∈N^*，
∴適合條件的m的最大值為7．

點評：本題是對等差數列，裂項相消求和以及不等式的綜合考查．裂項相消求和適用于通項為分式，其分子為常數，分母為某一等差數列中某兩項的乘積的數列的求和．