Question

（2013•遼寧一模）設f（x）是定義在R上的函數，若f（0）=2012，且對于任意的x∈R滿足f（x+2）-f （x）≤3•2^x，f （x+6）-f（x）≥63•2^x，則f （2012）等于（　　）

A．2²⁰⁰⁹+2008

B．2²⁰¹⁰+2009

C．2²⁰¹¹+2010

D．2²⁰¹²+2011

Answer 1

分析：令f（x+2）-f（x）≤3×2^x （1），f（x+6）-f（x）≥63×2^x （2），（1）-（2）可得f（x+2）-f（x+6）≤-60×2^x （3），再由（1）可得f（x+2）-f（x+6）≥-60×2^x （7），由（3）和（7）得到，f（x+2）-f（x+6）=-60×2^x（8），再對（1）變形聯立（2）可得f（x+6）=f（x）+63×2^x，與（8）聯立得 f（x+2）-f（x）=3×2^x，利用累加法及等比數列求和即可求得f（2012）．

解答：解：f（x+2）-f（x）≤3×2^x （1），f（x+6）-f（x）≥63×2^x （2），
由 （1）-（2）得到，f（x+2）-f（x+6）≤3×2^x-63×2^x=-60×2^x，
所以，f（x+2）-f（x+6）≤-60×2^x （3），
由（1）得，f（x+6）-f（x+4）≤3×2^x+4=48×2^x （5），
f（x+4）-f（x+2）≤3×2^x+2=12×2^x  （6），
由（5）+（6）得到，f（x+6）-f（x+2）≤60×2^x，即f（x+2）-f（x+6）≥-60×2^x （7），
由（3）和（7）得到，f（x+2）-f（x+6）=-60×2^x（8），
由（1）得，f（x+6）≤f（x+4）+3×2^x+4≤f（x+2）+3×2^x+2+3×2^x+4≤f（x）+3×2^x+3×2^x+2+2^x+4=f（x）+63×2^x，
又由（2）知，f（x+6）=f（x）+63×2^x，與（8）聯立得 f（x+2）-f（x）=3×2^x，
所以f（x+2）=f（x）+3•2^x，
所以 f（2012）=f（2010）+3×2²⁰¹⁰，
f（2010）=f（2008）+3×2²⁰⁰⁸，…
f（2）=f（0）+3×2⁰，
等式兩邊同時相加得到f（2012）=f（0）+3×2²⁰¹⁰+3×2²⁰⁰⁸+…+3×2⁰=2012+3×（2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁸+…+2⁰），
等比數列求和得f（2012）=2012+3×

22012-1

4-1

=2012+2²⁰¹²-1=2011+2²⁰¹²．
故選D

點評：本題考查不等式、等比數列求和等知識，考查學生分析解決問題的能力，本題綜合性強，難度大，對能力要求高．