Question

 

從曲線上一點(diǎn)引曲線C的第一條切線，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)引曲線C的第二條切線，交軸于點(diǎn)，…如此反復(fù)作下去，由切線得到點(diǎn)列，，的橫坐標(biāo)組成數(shù)列，          

（1）若 ，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若對于任意的正整數(shù)都有恒成立，且，求的最大值；

（3）在（1）的條件下，記，數(shù)列的前項(xiàng)和為 ，試比較與1的大小。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）   1分 的方程為 且

令得 即             

又B_n(x_n+1,0),   3分

數(shù)列是首項(xiàng)為4 ，公比為的等比數(shù)列    4分

（2）          

數(shù)列是首項(xiàng)為 ，公比為的等比數(shù)列，且    5分

又，公比滿足，         

為遞減的等比數(shù)列，

∴y_n的最大值是y₁=x₁²,

要使得對任意的正整數(shù)都有恒成立，只要           6分

解得，又，的最大值為             7分

（3）由（1）得     8分         

                ①

   ②

①-②得

         11分         

當(dāng)時，   

當(dāng)時，       12分         

當(dāng)時，

      

故T_n>1.                                             14分