Question

若正方形ABCD邊長為1，點P在線段AC上運動，則

AP

 • (

PB

+

PD

)的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：借助正方形的兩鄰邊建立直角坐標系，將向量的運算轉化為坐標形式的運算，利用向量的坐標形式的數量積公式表示成二次函數，通過配方找出對稱軸，求出最值．

解答：解：以AB，AC 為x，y軸建立直角坐標系則
A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）
設P（x，x）（0≤x≤1）

AP

=(x，x)， 

PB

=(1-x，-x)，

PD

=(-x，1-x)
∴

AP

• (

PB

+

PD

)=2x（1-2x）
=-4(x-

1

4

)2+

1

4

  （0≤x≤1）
所以當x=

1

4

時，函數有最大值

1

4

；當x=1時函數有最小值-2
故答案為[-2，

1

4

]

點評：通過建立坐標系將向量問題轉化為代數問題；向量的坐標形式的數量積公式；配方法求二次函數的最值．