Question

已知數列{a_n}中，a₁=1且a_n+1=2a_n+3．
（1）求證：數列{a_n+3}是等比數列；
（2）求數列{a_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可得a_n+1+3=2（a_n+3），可得數列{a_n+3}是等比數列；
（2）由（1）可得an=2n+1-3，可得T_n=2²+2³+2³+…+2ⁿ⁺¹-3n，由等比數列的求和公式計算可得．

解答：解：（1）∵a_n+1=2a_n+3，∴a_n+1+3=2（a_n+3）…（2分）
即

an+1+3

an+3

=2，又a₁+3=4≠0…（3分）
∴數列{a_n+3}是以4為首項，2為公比的等比數列．     …（4分）
（2）由（1）知數列{a_n+3}的通項公式為an+3=4•2n-1，
∴an=2n+1-3…（6分）
∴T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=2²+2³+2³+…+2ⁿ⁺¹-3n
=

22(1-2n)

1-2

-3n=2ⁿ⁺²-3n-4…（11分）
∴數列{a_n}的前n項和Tn=2n+2-3n-4…（12分）

點評：本題考查等比數列關系的確定，涉及數列的求和，屬中檔題．