Question

在ΔABC中，頂點(diǎn)A,B, C所對(duì)三邊分別是a,b,c已知B(-1, 0), C(1, 0),且b,a, c成等差數(shù)列.

(I )求頂點(diǎn)A的軌跡方程；

(II) 設(shè)頂點(diǎn)A的軌跡與直線(xiàn)y=kx+m相交于不同的兩點(diǎn)M、N，如果存在過(guò)點(diǎn)P(0,-)的直線(xiàn)l,使得點(diǎn)M、N關(guān)于l對(duì)稱(chēng)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）當(dāng)k=0時(shí)，m的取值范圍為；

當(dāng)k≠0時(shí)，m的取值范圍為()．

【解析】(I ) 且b,a, c成等差數(shù)列結(jié)合橢圓的定義求得軌跡方程；(II)將y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立，判別式大于0，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，得k、m的關(guān)系

解：（I）由題知得b+c=4，即|AC|+|AB|=4（定值）．

由橢圓定義知，頂點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓（除去左右頂點(diǎn)），

且其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，半焦距為1，于是短半軸長(zhǎng)為．

∴ 頂點(diǎn)A的軌跡方程為．………………………………4分

（II）由

消去y整理得(3+4k²)x²+8kmx+4(m²-3)=0．∴  Δ=(8km)²-4(3+4k²)×4(m²-3)>0，

整理得：4k²>m²-3．①令M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，則 

設(shè)MN的中點(diǎn)P(x₀，y₀)，則

，…………………7分

i)當(dāng)k=0時(shí)，由題知，．……………………………8分

ii)當(dāng)k≠0時(shí)，直線(xiàn)l方程為，由P(x₀，y₀)在直線(xiàn)l上，得，得2m=3+4k²．②把②式代入①中可得2m-3>m²-3，解得0<m<2.又由②得2m-3=4k²>0，解得．∴ ．驗(yàn)證：當(dāng)(-2，0)在y=kx+m上時(shí)，得m=2k代入②得4k²-4k+3=0，k無(wú)解．即y=kx+m不會(huì)過(guò)橢圓左頂點(diǎn).同理可驗(yàn)證y=kx+m不過(guò)右頂點(diǎn)．∴ m的取值范圍為()．………11分

綜上，當(dāng)k=0時(shí)，m的取值范圍為；當(dāng)k≠0時(shí)，m的取值范圍為()．