Question

設函數f（x）=-x³+3x+2分別在x₁、x₂處取得極小值、極大值．xOy平面上點A、B的坐標分別為（x₁，f（x₁））、（x₂，f（x₂）），該平面上動點P（x，y），Q（mx，2y），滿足．
（1）求點A、B的坐標；
（2）求動點P的軌跡方程，并判斷軌跡的形狀．

Answer 1

【答案】分析：（1）令f′（x）=0求出x的解，確定函數的增減性得到函數的極值，從而得到A、B的坐標；
（2）利用向量的數量積運算，可得動點P的軌跡方程，分類討論，可得軌跡的形狀．
解答：解：（1）令f'（x）=（-x³+3x+2）'=-3x²+3=0解得x=1或x=-1
當x＜-1時，f'（x）＜0；當-1＜x＜1時，f'（x）＞0；當x＞1時，f'（x）＜0
所以，函數在x=-1處取得極小值，在x=1取得極大值，
故x₁=-1，x₂=1，f（-1）=0，f（1）=4
所以點A、B的坐標為A（-1，0），B（1，4）；
（2）由題意，
∵
∴（1+x）（mx-m）+2y²=1-m
∴mx²+2y²=1
①m=0時，y=±，表示兩條平行直線；
②m=2時，x²+y²=，表示原點為圓心，半徑為的圓；
③m＜0時，，表示焦點在y軸上的雙曲線；
④m＞0時，，若0＜m＜2，表示焦點在x軸上的橢圓；若m＞2，表示焦點在y軸上的橢圓．
點評：本題考查學生利用導數研究函數極值的能力，會用平面內兩個向量數量積的運算，以及會求動點的軌跡方程的能力．