Question

已知函數f（x）=x²-cosx，對于[-

π

2

，

π

2

]上的任意x₁，x₂，有如下條件：①x₁＞x₂；②x₁²＞x₂²；③|x₁|＞x₂；④x₁＞|x₂|．其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的條件序號是

②③④

．

Answer 1

分析：利用導數可以判定其單調性，再判斷出奇偶性，即可判斷出結論．

解答：解：∵f′（x）=2x+sinx，
∴當x=0時，f′（0）=0；當x∈[-

π

2

，0)時，f′（x）＜0，函數f（x）在此區間上單調遞減；當x∈(0，

π

2

]時，f′（x）＞0，函數f（x）在此區間上單調遞增．
∴函數f（x）在x=0時取得最小值，f（0）=0-1=-1．
∵?x∈[-

π

2

，

π

2

]，都有f（-x）=f（x），∴f（x）是偶函數．
根據以上結論可得：
①當x₁＞x₂時，則f（x₁）＞f（x₂）不成立；
②當x₁²＞x₂²時，得|x₁|＞|x₂|，則f（|x₁|）＞f（|x₂|）?f（x₁）＞f（x₂）恒成立；
③當|x₁|＞x₂時，則f（x₁）=f（|x₁|）＞f（x₂）恒成立；
④x₁＞|x₂|時，則f（x₁）＞f（|x₂|）=f（x₂）恒成立．
綜上可知：能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的有②③④．
故答案為②③④．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、判定函數的奇偶性等是解題的關鍵．