Question

建造一個容積為6400立方米，深為4米的長方體無蓋蓄水池，池壁的造價為每平方米200元，池底的造價為每平方米100元．
（1）把總造價y元表示為池底的一邊長x米的函數；
（2）蓄水池的底邊長為多少時總造價最低？總造價最低是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）水池總造價函數為y=池底造價+池壁造價，代入整理即可；
（2）由（1）得出總造價函數，應用函數單調性的定義研究其單調性，從而得出這個函數在（0，40]上是減函數，在[40，+∞）增函數，可求得函數的最小值以及對應的x的值．
解答：解：（1）由已知池底的面積為1600平方米，底面的另一邊長為米，--------（1分）
則池壁的面積為平方米．------------------------------------（3分）
所以總造價：（元），x∈（0，+∞）．-------------（5分）
（2）設0＜x₁＜x₂，則
--（7分）
當0＜x₁＜x₂≤40時，x₁-x₂＜0，，得y₁-y₂＞0，即 y₁＞y₂．----------（9分）
當40＜x₁＜x₂時，x₁-x₂＜0，，得y₁-y₂＜0，即 y₁＜y₂．---（11分）
從而這個函數在（0，40]上是減函數，在[40，+∞）增函數，當x=40時，y_min=288000．
所以當池底是邊長為40米的正方形時，總造價最低為288000元．---------------（14分）
點評：本題考查函數模型的構建，考查函數解析式的求解及常用方法，考查利用數學知識解決實際問題，屬于基礎題．