Question

【題目】現給出三個條件：①函數的圖象關于直線對稱；②函數的圖象關于點對稱；③函數的圖象上相鄰兩個最高點的距離為.從中選出兩個條件補充在下面的問題中，并以此為依據求解問題.

已知函數（，），_____，_____.求函數在區間上的最大值和最小值.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

方案①③與②③，都有周期可求得，再由型函數的對稱軸與對稱中心求得，即可表示解析式，最后由三角函數的性質求得指定區間的最值；方案①②中，由對稱軸與對稱中心可構建方程組，分別表示與，利用分類討論和時的情況，其中若T小于所求區間范圍的區間長度，則最值由振幅確定，反之則可由性質求值域.

方案一：選①③.由已知，函數的最小正周期，

所以，，所以.

令，得，.

所以的對稱軸方程為，.

令，，由，得.

綜上，.

因為，所以.

所以當或，即或時，；

當，即時，.

方案二：選②③.由已知，函數的最小正周期，

所以，，所以.

所以，于是，.

由，得.

綜上，.

因為，所以.

所以當，即時，；

當，即時，.

方案三：選①②.由已知可知其中一個對稱軸與對稱中心，

則，解得

因為，則，即或0

當時，

因為，則

當時，，則

又因為區間的區間長度為，所以函數在區間上的最大值為和最小值為，顯然時也成立，

當時，

因為，則

當時，，則

此時函數，則其在區間上有，即，故最大值為，最小值為，

當時，，則，所以函數在區間上的最大值為和最小值為，顯然時也成立

綜上所述，函數和函數在區間上的最大值為和最小值為；函數在區間上最大值為，最小值為.