Question

圖6-1，為一臺冷軋機的示意圖，冷軋機由若干對軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經過各對軋輥逐步減薄后輸出

          圖6-1

(Ⅰ)輸入帶鋼的厚度為α，輸出帶鋼的厚度為β，若每對軋輥的減薄率不超過r₀．問冷軋機至少需要安裝多少對軋輥?

(一對軋輥減薄率＝)

 

(Ⅱ)已知一臺冷軋機共有4對減薄率為20%的軋輥，所有軋輥周長均為1600mm若第k對軋輥有缺陷，每滾動一周在帶鋼上壓出一個疵點，在冷軋機輸出的帶鋼上，疵點的間距為L_k．為了便于檢修，

請計算L₁、L₂、L₃并填入下表(軋鋼過程中，帶鋼寬度不變，且不考慮損耗)

軋輥序號k	1	2	3	4
疵點間距Lk單位：mm）				1600

 

Answer 1

(Ⅰ)解：厚度為α的帶鋼經過減薄率均為r₀的n對軋輥后厚度為α（1－r₀）ⁿ．?

為使輸出帶鋼的厚度不超過β，冷軋機的軋輥數(以對為單位)應滿足α（1－r₀）ⁿ≤β，

即(1－r₀）ⁿ≤．?

由于(1－r₀）ⁿ＞0，＞0，對上式兩端取對數，得nlg（1－r₀）≤lg．?

 

由于lg（1－r₀）＜0，所以n≥．

 

因此，至少需要安裝不小于的整數對軋輥.

 

(Ⅱ)解法一：第k對軋輥出口處疵點間距離為軋輥周長，在此處出口的兩疵點間帶鋼的

體積為1600·α（1－r）^k·寬度(其中r＝20％），?

而在冷軋機出口處兩疵點間帶鋼的體積為L_k·α（1－r）⁴·寬度?

因寬度相等，且無損耗，由體積相等得?

1600·α（1－r）^k＝L_k·α（1－r）⁴（r＝20％），?

 

即L_k＝1600·0.8^k－4．?

 

由此得L₃＝2000（mm），L₂＝2500（mm），L₁＝3125（mm）．

 

填表如下?

軋輥序號k	1	2	3	4
疵點間距Lk（mm）	3125	2500	2000	1600

 

解法二：第3對軋輥出口疵點間距為軋輥周長，在此處出口的兩疵點間帶鋼體積與冷軋機出口處兩疵點間帶鋼體積相等，因寬度不變，有

1600＝L₃·（1－0.2），

 

所以L₃＝＝2000（mm）同理L₂＝＝2500（mm），L₁＝＝3125（mm）．?

填表如下

軋輥序號k	1	2	3	4
疵點間距Lk（mm）	3125	2500	2000	1600

 

評述：本小題主要考查等比數列、對數計算等基本知識，考查綜合運用數學知識和方法解決實際問題的能力.