Question

已知數列{a_n}滿足a₁=

7

6

，S_n是{a_n}的前n項和，點（2S_n+a_n，S_n+1）在f（x）=

1

2

x+

1

3

的圖象上，數列{b_n}中，b₁=1，且

bn+1

bn

=

n

n+1

 （n∈N^*）．
（1）證明數列{a_n-

2

3

}是等比數列；
（2）分別求數列{a_n}和{b_n}的通項公式a_n和b_n；
（3）若c_n=

an- 2 3

bn

，T_n為數列{c_n}的前n項和，n∈N^*，求T_n并比較T_n與1的大小（只需寫出結果，不要求證明）．

Answer 1

分析：（1）由點（2S_n+a_n，S_n+1）在f（x）=

1

2

x+

1

3

的圖象上，知Sn+1-Sn=

1

2

an+

1

3

，故an+1=

1

2

an+

1

3

，由此能夠證明數列{an-

2

3

}是等比數列．
（2）由an-

2

3

=(a1-

2

3

)(

1

2

)n-1，得an=

2

3

+(

1

2

)n，由

bn+1

bn

=

n

n+1

，知

b2

b1

=

1

2

，

b3

b2

=

2

3

，

b4

b3

=

3

4

．由此能求出數列{a_n}和{b_n}的通項公式a_n和b_n．
（3）cn=

an- 2 3

bn

=

( 1 2 )n

1 n

=n•(

1

2

)n，Tn=1×

1

2

+2×(

1

2

)2+…+n×(

1

2

)n，由錯位相減法求得T_n=2-

2+n

2n

，由此能夠比較比較T_n與1的大小．

解答：解：（1）∵點（2S_n+a_n，S_n+1）在f（x）=

1

2

x+

1

3

的圖象上
∴Sn+1=

1

2

(2Sn+an)+

1

3

，
即Sn+1-Sn=

1

2

an+

1

3

，
an+1=

1

2

an+

1

3

，
即an+1-

2

3

=

1

2

(an-

2

3

)，
∴a1-

2

3

=

1

2

≠0，
∴數列{an-

2

3

}是等比數列．
（2）由（1）知，an-

2

3

=(a1-

2

3

)(

1

2

)n-1，
得an=

2

3

+(

1

2

)n，
∵

bn+1

bn

=

n

n+1

，
∴

b2

b1

=

1

2

，

b3

b2

=

2

3

，

b4

b3

=

3

4

，…，

bn

bn-1

=

n-1

n

，
∴

bn

b1

=

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

n-1

n

=

1

n

，
即bn=

1

n

b1=

1

n

（n≥2）．
又∵b₁=1，∴bn=

1

n

．
（3）cn=

an- 2 3

bn

=

( 1 2 )n

1 n

=n•(

1

2

)n，
Tn=1×

1

2

+2×(

1

2

)2+…+n×(

1

2

)n，①

1

2

Tn=1×(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1，②
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-n(

1

2

) n+1，

1

2

Tn=

1 2 (1- 1 2 n )

1- 1 2

-n(

1

2

)n+1，

1

2

Tn=1-

1

2 n

-n(

1

2

)n+1，
T_n=2-

2+n

2n

，
Tn-1=1-

2+n

2n

，
n=1時，T_n-1＜0，即T_n＜1，
n=2時，T_n-1=0，即T_n=1，
n≥3時，T_n-1＞0，即T_n＞1．

點評：本題考查等比數列的證明、數列通項公式的求法和數列前n項和的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意數列的遞推式的靈活應用．