Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，若任意的a、b∈[-1，1]，且a+b≠0，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）判斷f（x）在[-1，1]上的單調性，并證明你的結論；
（2）解不等式：f（x+1）＜f（

1

x-1

）．

Answer 1

分析：（1）任取x₁、x₂兩數使x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，進而根據函數為奇函數推知f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂），讓f（x₁）+f（-x₂）除以x₁-x₂再乘以x₁-x₂配出

f(a)+f(b)

a+b

的形式，進而判斷出f（x₁）-f（x₂）與0的關系，進而證明出函數的單調性．
（2）根據函數f（x）在[-1，1]上是增函數知：

-1≤x+1≤1 -1≤ 1 x-1 ≤1 x+1＜ 1 x-1

進而可解得x的范圍．

解答：解：（1）任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，則-x₂∈[-1，1]．又f（x）是奇函數，于是
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
=

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

•（x₁-x₂）．
據已知

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[-1，1]上是增函數．
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函數知：

-1≤x+1≤1 -1≤ 1 x-1 ≤1 x+1＜ 1 x-1

，解得-2≤x＜-

2

，
故不等式的解集為{x|-2≤x＜-

2

}．

點評：本題主要考查函數的單調性和奇偶性的綜合運用．在解題時要利用好單調性和奇偶性的定義．