Question

已知函數f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]．
（1）求實數a的范圍，使y=f（x）在區間[-5，5]上是單調遞增函數．
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）先找到其對稱軸，再根據開口向上的二次函數在對稱軸右邊遞增即可求出實數a的范圍；
（2）根據對稱軸和區間的位置關系分三種情況討論，即可求出f（x）的最小值．

解答：解：（1）因為f（x）是開口向上的二次函數，且對稱軸為x=-a，為了使f（x）在[-5，5]上是增函數，故-a≤-5，即a≥5（5分）
（2）當-a≤-5，即a≥5時，f（x）在[-5，5]上是增函數，所以f_min（x）=f（-5）=27-10a
當-5＜-a≤5，即-5≤a＜5時，f（x）在[-5，-a]上是減函數，在[-a，5]上是增函數，所以f_min（x）=f（-a）=2-a²
當-a＞5，即a＜-5時，f（x）在[-5，5]上是減函數，所以f_min（x）=f（5）=27+10a
綜上可得fmin(x)=

27-10a，(a≥5) 2-a2，(-5≤a＜5) 27+10a，(a＜-5)

點評：本題主要考察二次函數在閉區間上的最值問題．二次函數y=ax²+bx+c，（a＞0），在定區間[m，n]上，[1]當m≥-

b

2a

時，對稱軸在區間左側，f （x）在[m，n]上遞增，則f （x）的最大值為f （n），最小值為f （m）；[2]當n≤-

b

2a

時，對稱軸在區間右側，f （x） 在[m，n]上遞減，，則f （x）的最大值為f （m），最小值為f（n）；[3]當-

b

2a

∈（m，n）時，則f（x）的最小值為f （-

b

2a

）；在[m，-

b

2a

]上函數f （x）遞減，則f （x）的最大值為f （m），在[-

b

2a

，n]上函數f （x）遞增，則f （x）的最大值為f （n），比較f （m）與f （n）的大小即得．