Question

一條動直線中，待定系數t取不同的值，將得到不同的直線，所有這此直線構成一簇直線系，試問這些直線是不是一定通過某一定點呢？試就下列諸直線系分別進行討論．

(1)l：x＋ty=t－1；(2)l：tx＋(t＋1)y=1；(3)l：x＋2y＋3＋l (3x＋4y＋10)=0；(4)l：x＋y＋t=0；(5)l：

Answer 1

答案：略
解析：

解：(1)令y=1，得x=－1，即動直線l過定點P(－1，1)． (2)令t=0，得直線y=1；令t=－1，得直線x=－1， 則得點P(－1，1)，經檢驗，它滿足原動直線的方程，故點P(－1，1)是動直線l所經過的定點． 這里實際上給出了論證直線是否經過定點的一般方法：對待定t取特殊值建立方程組；若方程組有唯一解，且這個解滿足原動直線的方程．則該解即為所求的定點，若方程組無解或所得到的解不滿足原動直線的方程，則該直線系無公共點． 讓我們引用上述方法，解決其余的題目． (3)令l =0得x＋2y＋3=0，令l =－1，得2x＋2y＋7=0． 解上述兩個方程所組成的方程組，得 將點P代入原動直線的方程中，有 －4＋1＋3l (－12＋2＋10)=0， ∴點P是直線l所經過的定點． (4)令t=0，得x＋y=0，令t=1，得x＋y=－1． 易知上述兩個方程組所組成的方程組無實數解． ∴該動直線不經過某一定點． (5)令t=1，得x＋y＋1=0，令t=－1，得－x＋y＋1=0． 解由上述兩個方程所組成的方程組，得 代入原直線方程中，得，∴原動直線不經過定點．