Question

如圖，在多面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，上、下底面平行且均為矩形，相對的側面與同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的長、寬分別為c，d與a，b且a＞c，b＞d，兩底面間的距離為h。

（1）求側面ABB₁A₁與底面ABCD所成二面角正切值；
（2）在估測該多面體的體積時，經常運用近似公式V_估=S_中截面·h來計算，已知它的體積公式是 （S_上底面+4S_中截面+S_下底面），試判斷V_估與V的大小關系，并加以證明。

Answer 1

解：（1）解：過B1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，過B1作B1G⊥PQ，垂足為G ∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∠A1B1C1=90°， ∴AB⊥PQ，AB⊥B1P ∴∠B1PG為所求二面角的平面角 過C1作C1H⊥PQ，垂足為H 由于相對側面與底面所成二面角的大小相等，故四邊形B1PQC1為等腰梯形 ，又 ∴， 即所求二面角的正切值為。
（2）V估＜V 證明： ∵a＞c，b＞d， ∴   ∴V估＜V。