Question

已知一個長方體交于一頂點的三條棱長之和為1，其表面積為

16

27

（1）將長方體的體積V表示為其中一條棱長x的函數關系，并寫出定義域；
（2）求體積的最大、最小值；
（3）求體積最大時三棱長度．

Answer 1

分析：（1）根據一個長方體交于一頂點的三條棱長之和為1，其表面積為

16

27

，設三條棱長分別為：x，y，z，則x+y+z=1，2xy+2yz+2xz=

16

27

，從而可得函數解析式，由此可確定函數的定義域；
（2）求導函數，求極值點，從而可確定函數的最值；
（3）由第（2）條件最大時x的值，結合x+y+z=1，2xy+2yz+2xz=

16

27

，可求三棱長度．

解答：解：（1）設三條棱長分別為：x，y，z，則x+y+z=1，2xy+2yz+2xz=

16

27

…（1分）
得yz=

8

27

-x(y+z)=

8

27

-x(1-x)，
∴V=x(

8

27

-x+x2)=x3-x2+

8

27

x…（4分）
又∵y+z=1-x，yz=

8

27

-x(1-x)，
∴y、z是方程m2-(1-x)m+

8

27

-x+x2=0的兩根

△≥0 1-x＞0 8 27 -x+x2＞0

得

1

9

≤x≤

5

9

∴V=x3-x2+

8

27

x（ 

1

9

≤x≤

5

9

）．…（6分）
（2）V′=3x2-2x+

8

27

=0，得x=

2

9

或x=

4

9

…（8分）
當x=

1

9

或x=

4

9

時，V有最小值

16

729

，
當x=

2

9

或x=

5

9

時，V有最大值

20

729

．…（10分）
（3）當V有最大值時，三棱長分別為：

5

9

，

2

9

，

2

9

．  …（12分）

點評：本題i長方體為載體，考查函數關系的建立，考查導數的運用，考查函數的最值，有綜合性．