Question

函數y=f（x）對任意實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy．
（1）求f（0）的值；
（2）若f（1）=1，求f（2），f（3），f（4）的值，猜想f（n）的表達式并用數學歸納法證明你的結論；
（3）若f（1）≥1，求證：f(

1

2n

)＞0(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）通過已知表達式，通過x=y=0，即可求出f（0）的值；
（2）若f（1）=1，通過f（2）=f（1+1），f（3）=f（2+1），f（4）=f（3+1）即可求出它們的值，直接猜想f（n）的表達式并用數學歸納法證明①驗證n=1時猜想成立，假設n=k時猜想成立，證明n=k+1時猜想也成立即可；
（3）若f（1）≥1，利用數學歸納法證明f(

1

2n

)＞0(n∈N*)．按照證明步驟證明．

解答：解：（1）令x=y=0得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0⇒f（0）=0
（2）f（1）=1，

f(2)=f(1+1)=1+1+2=4 f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9 f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16

猜想f（n）=n²，下用數學歸納法證明之．
①當n=1時猜想成立．
②假設n=k時猜想成立，即：f（k）=k²，
那么f（k+1）=f（k）+f（1）+2k=k²+2k+1=（k+1）²．
這就是說n=k+1時猜想也成立．
對于一切n≥1，n∈N₊猜想都成立．
（3）f（1）≥1，則f(1)=2f(

1

2

)+2×

1

2

×

1

2

≥1⇒f(

1

2

)≥

1

4

＞0
假設n=k（k∈N^*）時命題成立，即f(

1

2k

)≥

1

22k

＞0，則f(

1

2k

)=2f(

1

2k+1

)+2×

1

2k+1

×

1

2k+1

≥

1

22k

⇒f(

1

2k+1

)≥

1

22(k+1)

，
由上知，則f(

1

2n

)＞0(n∈N*)．

點評：本題只要考查數學歸納法證明問題的基本步驟，考查賦值法求出函數值的方法，數列的有關知識，考查計算能力，轉化思想．