Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點．
（1）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）點M在線段PC上，PM=tPC，試確定t的值，使PA∥平面MQB；
（3）在（2）的條件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小．

Answer 1

分析：（1）證明平面PAD內的直線AD，垂直平面PQB內的兩條相交直線BQ，PQ，即可證明平面PQB⊥平面PAD；
（2）連AC交BQ于N，交BD于O，說明PA∥平面MQB，利用PA∥MN，根據三角形相似，即可得到結論；
（3）建立空間直角坐標系，先求出平面MQB的法向量，平面ABCD的法向量，利用向量的夾角公式即可求解．

解答：（1）證明：連BD，
∵四邊形ABCD菱形，∠BAD=60°，∴△ABD為正三角形，
∵Q為AD中點，∴AD⊥BQ
∵PA=PD，Q為AD的中點，∴AD⊥PQ
又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，AD?平面PAD
∴平面PQB⊥平面PAD；
（2）當t=

1

3

時，使得PA∥平面MQB，
連AC交BQ于N，交BD于O，連接MN，則O為BD的中點，
又∵BQ為△ABD邊AD上中線，∴N為正三角形ABD的中心，
令菱形ABCD的邊長為a，則AN=

3

3

a，AC=

3

a．
∴PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN
∴PA∥MN
∴

PM

PC

=

AN

AC

=

1

3

即：PM=

1

3

PC，t=

1

3

；
（3）由PA=PD=AD=2，Q為AD的中點，則PQ⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，
以Q為坐標原點，分別以QA、QB、QP所在的直線為x，y，z軸，建立如圖所示的坐標系，則各點坐標為A（1，0，0），B（0，

3

，0）），Q（0，0，0），P（0，0，

3

）
設平面MQB的法向量為

n

=(x，y，1)，可得

n • QB =0 n • MN =0

，
而PA∥MN，∴

n • QB =0 n • PA =0

，∴y=0，x=

3

∴

n

=(

3

，0，1)
取平面ABCD的法向量

m

=(0，0，1)
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1

2

∴二面角M-BQ-C的大小為60°．

點評：本題主要考查了面面垂直、線面平行的判斷，以及利用空間向量的方法度量二面角的平面角，同時考查了空間想象能力，論證推理能力，屬于中檔題．