Question

現有長度為48cm和面積為Sm²的鐵皮，用鋼管焊接一個長方體框架，再用鐵皮圍在框架的六個表面做成一個長方體水箱（不考慮建材和焊接的損失）．
（1）無論如何焊接長方體，若要確保鐵皮夠用，求鐵皮面積S的最小值．
（2）若鐵皮面積為90m²，如何設計長方體的尺寸才能使水箱容積最大？并求最大容積．

Answer 1

分析：（1）長方體水箱的長寬高分別為x，y，z，由已知可得x+y+z=12，利用基本不等式要求出水箱表面積S的最小值；
（2）若鐵皮面積為90m²，則ab+bc+ca=45，設體積V=abc，可得

1

a

+

1

b

+

1

c

=

45

V

，利用基本不等式，可求出體積的最大值．

解答：解：（1）設長方體水箱的長寬高分別為x，y，z，
則4（x+y+z）=48，即
x+y+z=12
此時，長方體水箱的表面積S=2（xy+yz+xz）
∵（x+y+z）²=x²+y²+z²+2（xy+yz+xz）=

1

2

[（x²+y²）+（x²+z²）+（y²+z²）]+2（xy+yz+xz）≥3（xy+yz+xz）
∴S≤

2

3

（x+y+z）²=96
當且僅當x=y=z=4時，鐵皮面積S的最小值為96m²．
（2）∵2（ab+bc+ca）=90
∴ab+bc+ca=45…①
設V=abc…②
①÷②得

1

a

+

1

b

+

1

c

=

45

V

∴

45

V

≥3

3	1 abc

=3

3	1 V

∴V≤15

15

當且僅當a=b=c=

15

時取等
即長方體的長寬高均為

15

m時，水箱的體積最大，最大體積為15

15

m³．

點評：本題考查的知識點是基本不等式，是基本不等式的簡單應用，其中根據已知分析出“定”值是解答的關鍵．