Question

（2013•廣州二模）已知正方形ABCD的邊長為2，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點．
（1）在正方形ABCD內部隨機取一點P，求滿足|PH|＜

2

的概率；
（2）從A、B、C、D、E、F、G、H這八個點中，隨機選取兩個點，記這兩個點之間的 距離為ξ，求隨機變量ξ的分布列與數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）根據幾何概型的概率計算公式，分別求出正方形的面積和滿足|PH|＜

2

的正方形內部的點P的集合”的面積即可得出；
（2）從A、B、C、D、E、F、G、H這八個點中，隨機選取兩個點，共可得到

C

2 8

=28線段．這些線段的長度ξ的所有可能取值分別為1，

2

，2，

5

，2

2

，找出相應長度的線段條數，利用古典概型的概率計算公式即可得出．

解答：解：（1）如圖所示，正方形的面積S_{正方形ABCD}=2×2=4．
設“滿足|PH|＜

2

的正方形內部的點P的集合”為事件M，
則S（M）=S_△DGH+S_△AEH+S_扇形EGH=2×

1

2

×12+

1

2

×

2

×

π

2

×

2

=1+

π

2

．
∴P（M）=

1+ π 2

4

=

π

8

+

1

4

．
故滿足|PH|＜

2

的概率為

π

8

+

1

4

．
（2）從A、B、C、D、E、F、G、H這八個點中，隨機選取兩個點，共可得到

C

2 8

=28線段．
其中長度等于1的有8條：AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA；長度等于

2

的由4條：EF、FG、GH、HE；長度等于2的有6條：AB、BC、CD、DA、EG、
FH；長度等于

5

的有8條，AF、AG、BG、BH、CE、CH、DE、DF；長度等于2

2

的由2條AC、BD．
∴ξ的所有可能的取值為1，

2

，2，

5

，2

2

．
則P（ξ=1）=

8

28

=

2

7

，P（ξ=

2

）=

4

28

=

1

7

，P（ξ=2）=

6

28

=

3

14

，P（ξ=

5

）=

8

28

=

2

7

，P（ξ=2

2

）=

2

28

=

1

14

．
隨機變量ξ的分布列為

Eξ=1×

2

7

+

2

×

1

7

+2×

3

14

+

5

×

2

7

+2

2

×

1

14

=

5+2 2 +2 5

7

．

點評：本題考查了利用古典概型的概率計算公式求幾何概率及其分布列和數學期望，正確求出試驗的全部結果所構成的區域的面積和長度以及要求的事件的區域的面積和長度是解題的關鍵．