Question

如圖，四棱錐C-ABCD中，△ABC為正三角形，AE⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，M為DC上一點，BD=BC=2AE=2。
（Ⅰ）求證：AE∥平面BCD；
（Ⅱ）當EM⊥BD時，求二面角M-AB-C的正切值。

Answer 1

證明：（Ⅰ）∵AE⊥平面ABC，BD⊥平面ABC
∴AE∥BD 而AE平面BCD，BD平面BCD
∴AE∥平面BCD
（Ⅱ）∵BD⊥平面ABC
∴平面BCD⊥平面ABC
在平面BCD中過點M作MN⊥BC，垂足為N
則有MN⊥平面ABC，MN∥BD,
∴且MN∥AE
過N作NG⊥AB于G，連接MG，則MG⊥AB，所以∠MGN為二面角M-AB-C的一個平面角
在四邊形AEMN中
∵∠EAN=∠ANM=∠NME=
∴四邊形AEMN為矩形
∴MN=AE=1
∴M為CD的中點，N為BC的中點
在Rt△MNG中，MN=1，NG=BNsin∠ABC=
∴tan∠MGN=