Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N^*）
（1）若b_n=a_n+1-2a_n，求b_n；
（2）若c_n=

1

an+1-2an

，求{c_n}的前6項和T₆；
（3）若d_n=

an

2n

，求數列{d_n}的通項．

Answer 1

分析：（1）a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N^*）⇒S_n+2=4a_n+1+2，兩式作差，結合題意即可求得b_n+1=2b_n，即{b_n}是公比為2的等比數列，再求得b₁即可求b_n；
（2）可求得c_n=

1

3

•(

1

2

)n-1，即{c_n}是首項為

1

3

，公比為

1

2

的等比數列，于是可求{c_n}的前6項和T₆；
（3）依照d_n=

an

2n

，可證求數列{d_n}為公差是

3

4

的等差數列，從而可求其通項．

解答：解（1）∵a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N^*）
∴S_n+2=4a_n+1+2，
∴a_n+2=S_n+2-S_n+1=4（a_n+1-a_n），
∴a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-a_n），
即b_n+1=2b_n，
∴{b_n}是公比為2的等比數列，且b₁=a₂-2a₁…（3分）
∵a₁=1，a₂+a₁=S₂，即a₂+a₁=4a₁+2，
∴a₂=3a₁+2=5，
∴b₁=5-2=3
∴b_n=3•2^n-1…（5分）
（2）c_n=

1

an+1-2an

=

1

bn

=

1

3•2n-1

，
∴c₁=

1

3

，
∴c_n=

1

3

•(

1

2

)n-1，
∴{c_n}是首項為

1

3

，公比為

1

2

的等比數列…（8分）
∴T₆=

1 3 [1-( 1 2 )6]

1- 1 2

=

2

3

（1-

1

64

）=

61

96

…（10分）
（3）∵d_n=

an

2n

，b_n=3•2^n-1，
∴d_n+1-d_n=

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1-2an

2n+1

=

bn

2n+1

=

3×3n-1

2n+1

=

3

4

，
∴{d_n}是等差數列
d_n=

3n

4

-

1

4

．…（14分）

點評：本題考查等比數列的前n項和，考查等比數列與等差數列的關系的確定，突出考查推理運算能力，屬于難題．