Question

（本題滿分12分）

已知數列{a_n}滿足

   （Ⅰ）求數列的前三項：a₁，a₂，a₃；

   （Ⅱ）試確定λ的值，使數列為等差數列；

（Ⅲ）求數列{a_n}的前n項和S_n.

Answer 1

解析：（Ⅰ）由

    同理可得    a₂ = 13， a₁ = 5.  …………………………………………（2分）  

   （Ⅱ）∵數列為等差數列     

 ∴

        必是與n無關的常數，則

                                        

    故存在實數λ=－1，使得數列為等差數列. …………………………（7分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知數列是公差d = 1的等差數列

      

    S_n = n+2×2 + 3×2² + 4×2³ +…+(n+1)?2ⁿ⁺¹

    2S_n = 2n+2×2² + 3×2² +…+n?2ⁿ + (n+1)?2ⁿ⁺¹

       相減整理得：  S_n = n（2ⁿ⁺¹ +1）……………………………………（12分）