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(2013•濟寧一模)如圖,在四棱錐S-ABC中,底面ABCD是矩形,SA⊥底面ABCD,SA=AD,點M是SD的中點,AN⊥SC,且交SC于點N.
(Ⅰ)求證:SB∥平面ACM;
(Ⅱ)求證:平面SAC⊥平面AMN.
分析:(I)連接BD,交AC于點O,連接MO,利用MO為△SDB的中位線,利用線面平行的判斷定理即可證得結論;
(II)依題意,可證得CD⊥平面SAD,從而可證CD⊥AM;由SA=AD,點M是SD的中點可證得AM⊥SD,而CD∩SD=D,從而AM⊥平面SCD⇒AM⊥SC,進一步可證SC⊥平面AMN,利用面面垂直的判斷定理即可證得結論.
解答:證明:(Ⅰ)連接BD,交AC于點O,連接MO
∵ABCD為矩形,
∴O為BD中點
又M為SD中點,
∴MO∥SB   …(3分)
MO?平面ACM,SB?平面AC…(4分)
∴SB∥平面ACM   …(5分)
(Ⅱ)∵SA⊥平面ABCD,
∴SA⊥CD
∵ABCD為矩形,
∴CD⊥AD,且SA∩AD=A,
∴CD⊥平面SAD,
∴CD⊥AM…(8分)
∵SA=AD,M為SD的中點,
∴AM⊥SD,且CD∩SD=D,
∴AM⊥平面SCD,
∴AM⊥SC   …(10分)
又∵SC⊥AN,且AN∩AM=A,
∴SC⊥平面AMN.
∵SC?平面SAC,
∴平面SAC⊥平面AMN.…(12分)
點評:本題考查平面與平面垂直的判定,考查直線與平面平行的判定,(Ⅰ)中證得MO為△SDB的中位線,(Ⅱ)中證得AM⊥平面SCD是關鍵,考查分析推理與證明的能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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