Question

已知(1+2x+3x2)(x+

1

x2

)n的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，n∈N^*且2≤n≤8，則n的值共有（　�。�

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．4個(gè)

D．0個(gè)

Answer 1

分析：先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為0得常數(shù)項(xiàng)，轉(zhuǎn)化成方程無(wú)解．

解答：解：∵已知(1+2x+3x2)(x+

1

x2

)n的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，n∈N^*且2≤n≤8，∴(x+

1

x2

)n的展開(kāi)式中不含常數(shù)項(xiàng)，不含x^-1項(xiàng)，不含x^-2項(xiàng)．
而 (x+

1

x2

)n的展開(kāi)式通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r n

 x^n-r x^-2r=

C

r n

 x^n-3r．
由題意可得，當(dāng)n∈N^*且2≤n≤8，方程組

n-3r=0 n-3r=-1 n-3r=-2

無(wú)解，經(jīng)檢驗(yàn)，n的值不存在，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)中的等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力和利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)，屬于中檔題．