Question

如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=2，BC=CD=1，AA₁=1，F在棱AB（不含端點）上，且C₁F與底面ABCD所成角的大小為45°
（Ⅰ）證明：直線D₁B₁⊥平面FCC₁；
（Ⅱ）求二面角B-FC₁-C的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）構造DM⊥CD，則以DM為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸建立空間直角坐標系，欲證直線D₁B₁⊥平面FCC₁，只需證明 垂直，且垂直即可；
（Ⅱ）在（Ⅰ）所建立的空間直角坐標系中，平面FCC₁的法向量已求得，而平面BFC₁的法向量可設出后由其與 、垂直得到，此時求出兩法向量的夾角余弦值，則易得二面角B-FC₁-C的余弦值．
解答：證明：（Ⅰ）因為AB=4，BC=CD=2，F是棱AB的中點，
以DM為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸建立空間直角坐標系，
則D（0，0，0），D₁（0，0，1），B₁（，，1），
∴=（，，0），
B（，，0），C（0，1，0），C₁（0，1，1），F（，，0），
=（0，0，1），=（，-，0）
∵•=0，且•=0
故垂直，且垂直
即D₁B₁⊥CC₁且D₁B₁⊥C₁F
又∵CC₁∩C₁F=C₁，
故直線D₁B₁⊥平面FCC₁；
（Ⅱ）由（I）可知平面FCC₁的一個法向量=（，，0），
設平面BFC₁的法向量為 ，
∵，=（，-，0）
則 所以 ，
取 ，
則 ，，
，
所以 ，
由圖可知二面角B-FC₁-C為銳角，所以二面角B-FC₁-C的余弦值為 ．
點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面垂直的判定，其中建立適當的坐標系，將空間問題轉化為向量問題，是解答本題的關鍵．