Question

（2012•湖北模擬）對某校高一年級學生參加社區(qū)服務次數進行統(tǒng)計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區(qū)服務的次數根據此教據作出了頻數與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖：

分組	頻數	頻率	獎品價值（元）
[10，25）	5	0.25	20
[15，20）	12	n	40
[20，25）	m	p	60
[25，30）	1	0.05	80
合計	M	1

（I）求出表中M，p及圖中a的值；
（Ⅱ）學校決定對參加社區(qū)服務的這M名學生進行表彰，對參加活動次數在[25，30），[20，25），[15，20），[10，15）區(qū)間的學生依次發(fā)放價值80元，60元、40元、20元的學習用品，在所取樣本中，任意取出2人，并設X為此二人所獲得用品價值之差的絕對值，求X的分布列與數學期望E（X）．

Answer 1

分析：（I）由題設知

5

M

=0.25，

12

M

=n，

m

M

=p，

1

M

=0.05，5+12+m+1=M，由此能求出表中M，p及圖中a的值．
（Ⅱ）所取出兩人所獲得學習用品價值之差的絕對值X可能為0元、20元、40元、60元，分別求出P（X=0），P（X=20），P（X=40），P（X=60）的值，由此能求出X的分布列和EX．

解答：解：（I）由題設知

5

M

=0.25，

12

M

=n，

m

M

=p，

1

M

=0.05，
∵5+12+m+1=M，
∴M=20，n=0.6，m=2，p=0.1，
∴[15，20]組的頻率與組距之比a為0.12．
（Ⅱ）所取出兩人所獲得學習用品價值之差的絕對值X可能為0元、20元、40元、60元，
則P（X=0）=

C 2 5 + C 2 12 + C 2 2

C 2 20

=

10+66+1

190

=

77

190

，
P（X=20）=

C 1 5 • C 1 12 + C 1 12 •  C 1 2 + C 1 2 • C 1 1

C 2 20

=

86

190

，
P（X=40）=

C 1 5 • C 1 2 + C 1 12 • C 1 1

C 2 20

=

22

190

，
P（X=60）=

C 1 5 • C 1 1

C 2 20

=

5

190

，
∴X的分布列為：

X	0	20	40	60
P	77 190	86 190	22 190	5 190

∴EX=0×

77

190

+20×

86

190

+40×

22

190

+60×

5

190

=

290

19

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是歷年高考的必考題型．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．