Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，PA是過點A的直線，且∠PAC=∠ABC．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）如果弦CD交AB于點E，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求直徑AB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用切線的判定定理：只要證明∠PAB=90°，又經過半徑的外端即可．
（2）設CE=6k，ED=5k，AE=2m，EB=3m，利用相交弦定理可得AE•EB=CE•ED，于是6m2=30k2，得m=5k．由△AEC∽△DEB，可得DB8=3m6k，得出BD=45．由△CEB∽△AED，得BCAD=CEAE．在Rt△ABC，Rt△ADB中，利用勾股定理可得BC2=25m2-64，AD2=25m2-80，即可解出．
解答：（1）證明：AB為直徑，∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵∠PAC=∠ABC，∴∠PAC+∠CAB=90°，
∴PA⊥AB，∵AB為直徑，∴PA為圓的切線．
（2）設CE=6k，ED=5k，AE=2m，EB=3m，
∵AE•EB=CE•ED，∴6m²=30k²，得m=k．
連接DB，由△AEC∽△DEB，∴，∴BD=．
連接AD，由△CEB∽△AED，得．
在Rt△ABC，Rt△ADB中，BC²=25m²-64，AD²=25m²-80，于是有，
解得m=2，∴AB=AE+EB=10．
點評：本題綜合考查了切線的判定定理、相交弦定理、三角形相似、勾股定理、成比例線段等基礎知識與方法，需要較強的推理能力和計算能力．