Question

已知拋物線與雙曲線有公共焦點，點是

    曲線在第一象限的交點，且．

（1）求雙曲線的方程；

（2）以雙曲線的另一焦點為圓心的圓與雙曲線的一條漸近線相切，圓：．過點作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線和，設被圓截得的弦長為，被圓截得的弦長為．是否為定值？請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線的焦點為，

∴雙曲線的焦點為、，

設在拋物線上，且，

由拋物線的定義得，，∴，∴，∴，

_s5u

∴，

又∵點在雙曲線上，由雙曲線定義得，

，∴，   ∴雙曲線的方程為：．

（2）為定值．下面給出說明．

設圓的方程為：，雙曲線的漸近線方程為：，

_5u∵圓與漸近線相切，∴圓的半徑為，

 

故圓：，

顯然當直線的斜率不存在時不符合題意，

設的方程為，即，

設的方程為，即，

∴點到直線的距離為，點到直線的距離為，

∴直線被圓截得的弦長，

直線被圓截得的弦長，

∴，    故為定值．